费马大-定理
剧情简介
本片从证 \明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 ?Andrew[ ^ W `iles开始谈起， /描述了 F=`erm,#(/at`*#'s Last The o ; rm 的历史始末，往前//回溯([ 来看，1/994年正是我在念大学的时候，当时`/完全没有一位教\[授/ @\在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真:正的 $ 研究者，自#$然而然地 会被数学吸引， . 然而%,对一位不是天才的学生来.%说，他 需要;的是老师的指引/，引导他.$走向更高深的专业认知，$\ 而指引= 的道路，就在科/普的精神] 上。 从)= $ 费-*玛最后定理的历-= 史中可以*发现，?有许多研究:* 成果，都是(\研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题_$ ， 然后再尝 试用逻辑验#\)证。 费玛最后定理：.][x .=n+yn=zn 当: n& -gt2 #时，不存在整数解%;]* 1. #? 196@:3%`年 安德鲁 ,‧怀% $尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝 $尔 Eric Templ;^e Bell 的一本@)?%书吸)引，「最后问题 The L ;#ast]- Problem」，故事::从这里开始。 2. 毕达哥 拉斯 P-ythagoras 定理，任一个 : 直 [%角三角形，斜边的平方=//另外两边的平方和 x2 !+y ^)2 ^) =z2* !%*=毕达哥拉斯三#元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Ferm *at,* 在;研究丢番 图 Diophantus 的「]算数」:第2卷的问题8时， 在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成 *^两个( 立方 [:数之+%[和]*@；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说\=\，不可$$$能将一个高於2次幂，写成=]两?个同样次幂的和。」 )「对这 个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白=;太小，写不下# [ 。」 4. 167=;0年，` )费玛 Fer m at _$的儿子出 `版了载有Fermat註记+[:的「丢番@ 图-+的算数」 5. ^^ 在Fermat(;=,]的其他註记中/,，隐含了对 n=4 的证明 => n=8,$) 12, 16, 20 ... 时无解 莱:% 昂 ) 哈德‧欧拉 Leonhar.d Eu% ler 证,_明.了 n=3 时无解 => n=^6, -@9]-^, 12, !^15 ... ^ #时无解 3是质数，现在只要证明[]费玛!+最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证$,明「存(在无穷多个质数」 ,:6=$;. 1776年 索 -菲%^‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数`，证明了 费玛*最后定!%/理 "!#^大/];概" 无解 *` 7. ! 1825年 古斯塔 \\夫!‧勒?*-$瑞-狄利克雷 和 + 阿得利昂]-玛利+@-埃‧勒让德 延伸!*热尔曼的$%证明，证明了 n=5 无解 8.# .1_839年 加布里尔‧拉梅 Gabri_el / La.%[me 证明了 n=7 无解 _ % 9. 18$%47年: 拉梅 与 奥古斯=+汀‧路 ;易斯 ‧科西 @, Au(+gu]sti(!# ?Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最 % +后是刘维尔宣读了 . 恩斯特)‧库 @ 默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅;的证明，:都因为「虚数没有唯一因子分$解性质 」而失败 库$默尔证明了 费玛最后%定,,理的完整证明 是当时数学方法不可能=实\现的 10:/(.19!][0/8年 保罗‧沃尔夫斯 凯尔 P :a -*ul Wo @l -fs-%`kehl` 补救了库默尔的 :证明 这表示 费玛最后定/理的**^@完 整证明 尚未被: 解决 # 沃尔,%夫斯凯.:尔提供了# 10万马克 给.^提.^供证$#明的人，期限是到2007年9月13日/+ 止 11.1900, .年8月8 ,日^ 大卫:`+‧希尔伯特，提出数学上23个未解决#^的问题且相信这是!% 迫切需要解- 决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判 !定性定理：如果 ;公(理,^#集合论是相容的，那么存.*\!在既不能证 ,, 明又不能否定的定理。 = > 完全性是不可能达到的 第+ 二不可判定%#性定理$# ：不\;]存在能证明公理系统是相容=/]的构造性过程_[。 =&\ gt :-#相容性,%,永远不可能证明 1^+3 ? .1963]=年 保罗‧科恩 Paul Cohe n %发,; ;展了可?;以^`检验给定问题是 )不是不可判定). 的方法（^=$(只;:,适用少数@[情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问`;题是不可判定的`+， 这对於费玛#最;. *+后定理来 [ 说是一大打击 14[`.1940年 阿伦‧图 /灵 Alan Turin!* g 发明$破 ?译 E :ni=(gma编-: 码 的反转@ !机 开始有@%人利用暴力解决;%#方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1,988年^ 内奥姆‧埃尔基!`斯 :^ N*:ao`,)@m. Elkies(` 对於 _[Eul?^ [er _提出的 x4^+y4+z4=w4 不存在解这个推 ?/想，找到了一个反例 2682440\4+*153656 )394+1879604=20% )6 (. 156[ !-734 16.1975年 安德鲁, ‧怀尔斯 A ndrew Wile#?s 师承! =_约 翰‧科次，研;究! (椭圆曲!线 --@$ 研究椭圆曲线的目的是要算出他;,们的整数 解，\;这跟费玛最后定理一样:: ex: y2=x3-2 ^ ^只有:)(一组:`整数解 52=33-2 (费[(@玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间) ) 由於要直接找出椭圆曲线是很 !(困难的，为了[简化 问题，数学家採用「时鐘运算」: 方法/ 在五 (格时鐘运$\算中， 4+2=;.;\1 椭圆方程式 x3-]x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0)-- (0,? % = 4) (1, 0) (/ 1;*, 4)，然@后可用 E5=4 来代表;#在五格时鐘运算中，有(!四个解 对於椭圆曲线，可写 , 出 一个 E序列 E1=1, E2=4, .....@ 17.1954年.] 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对\称性的 modular form_*, ? 模型: 式 模型式的要素可从 1开始标号到无穷（M1, M*2, M3,*[\ . \..） 每个模型)%*@]式的 M序 列 要素个数 可写成 M1=1 M2; =3 ...=//.:* 这[样的范例 1955年9月 提出模型式的 M 序列 可以对应到椭圆曲线的 ?_E序列，两个不同领域的理论突然.被` 连接在一起 安德 !列$\‧!_韦依 採纳这/_个想法，「谷山-志 ^(`村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲\ - 领」的:`计画*(`，一个统一化猜想的理? =)论，并开始寻找统一的环 =链 19,.1984年 格哈^^ 德‧弗赖`()^ Gerh@$ ar(?%d * )Frey 提出]? ?+ --(1);]_ 假设费玛最$后定理是错的)，?则 xn+yn=zn !%)有整数解，则可将方程式转换 *@为y2=x3+(AN-)^ ]BN)x2-AN+BN 这样的椭圆方程式 ?(2) 弗赖椭圆.,方程式太古怪了，以致於+无 :法^被 =-模,型式化 )!- (3) 谷山!/-志 .村猜想 断言+每一个椭圆方程式都= 可以.?被模型;式化 \[ ^%(4) 谷山-志村猜想 是错误的 ,,反过来说 (1);[ 如果 谷山-志村猜想 ,[是对的，每一个椭圆方程式都可以被 @模型% 式*化 (2) 每一个椭圆方程:-式都可以被模%+型式 +化，.则[ :不存在弗赖椭圆方程式? ]= (3) 如果不存在弗=赖椭圆方程式，#=那么xn@;+yn=zn] :# 没有整数解 , / ( +4) 费玛最-$]后定理是]对的 `)-20.1986=年 肯‧贝里-特^\)) 证^明 弗赖椭!+_圆方程式无法被模型式化 如果有人能够]证明谷山 [-志村猜想，就表示费 ?[玛最后定理;[ 也是正确的 21.1986年 安德鲁‧/怀尔斯 A %nd= ;re$,w W/\ iles 开始一个%(小?^ )阴谋，他@每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，$ 策略是利用归纳法，加上 埃瓦里?,?斯特‧伽罗瓦 的群论%，希望-]能将E序列以「自然次序 $」一一对$应到M#, 序列 2].*2.1988年 宫冈; 洋一 发表利用微分几 何学. \证明谷山-志^`%村猜想，但结果失败 23.1989年()? 安德鲁]‧怀/\尔)=!斯 And!re))w Wiles =$#+已经将( +椭圆方程!.式拆解成#无/;^限!]#)-多 $项，然;后也证明了第 一 ##项必定是模型式的第$一项，$^也尝-试利用 依娃沙娃 I+*wasawa 理论，但结果失败 2, 4.1 992) 年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类@后的椭圆方程式 %;都奏效 25.1993年$_ 寻求同 事 尼克‧凯兹 N=ick Ka \,!tz ;的协助，开始对验证证明 26.199[., 3年 ,5月 「L-函数和算术,」会议$/，安德鲁‧怀尔斯 !An#drew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.19*93年9月 尼克‧凯兹 Ni ;+ ck Katz*] : 发现一个重大缺陷 ?+ 安德鲁 ;‧怀尔斯 And`rew( Wiles 又=.开始隐居， 尝试独力解决缺陷，他不_=希望 ]在这;时候公布证明，让其)([他人分享完成%@证明的 [甜美果实 \ 28.安),]德鲁‧怀尔斯\ Andr#,ew W-.iles 在接近 放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的@: 协助 29? _.#]*1994年9月1#9日 发现结 合 依娃沙娃 Iwas /awa 理论与 科利瓦金-弗 莱契 方))法就能够完全 ;\[解决 问题 30.「谷山/? +-志村猜想」被证明了，@?%故得证「费玛最后定理$`@」 ii$+!- * 费马=!?大定理 300多年以前，法国数学家费马在一[!本@`书的空白处写下了一个定理：“设n是大/.^于2的正整数，则不定#]方\*程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真_正奇:?妙]的证明， @,但因书上 =空白太小，他写不下他的证明。30 \0多年过去了^，不知有多)-少专业数学家和业余 数学爱好 !]/者绞尽脑汁企图证明它，但不是 )无功而返就是进(/展\!甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马\ 大定理。^ 费马(1] 601年～-=*1665 [年 +)是一位具有传奇色 ?彩的数学家，他最初/+.学习法.,. 律并以当律 师谋生，后来成为议会,:议员，数学只不过 ^!是他的# 业( 余爱好，只能利用闲暇@来研 :-究。虽然年近30*才认真注意数学，但费马对数+论和微积分做出了*$_第一流的 )贡献。他与笛 卡儿几乎同时^ ^!创立了解析^;几[]何]，/#同时又是1%\ 7世纪兴起的 概率论的探 @索#\ 者之一。费马特别爱好数论，提出[%[了许多[ =定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所 ?;证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马 ([+大定理，因为?=是最,,后一\个未被证明对或错的定理，所以又称为费马%最 - -后定理。 费马大定理虽然?(至今仍没有\+!;完_[#全被+ 证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快[, 。:$)+*197 #_%6*/,)年瓦格斯塔夫证明了对小-于105的素数.费马大定理都?[成立 。1/:]_-983年一位年轻的德国数]学家 ] 法尔廷斯证明了不定$^方程xn+y;n=zn$只能有有\@限多组解，他的突出贡献 使他在19\$86年获得了数学界的.,(最高 奖之一费尔兹奖。1993年英国数学^家威尔斯宣 ?布证明了费马大定理，但随后发现了[证明中的$\^一个漏洞并作-+ 了修正。虽然威尔\ =斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但;)大多数数学 +家认为他证 +#明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到$ 了希望。 为了=寻求费马大定]!理的解答，三 ](个;-多世/:纪?;$)以来，一代又一代的数学家们前赴]^后继，却壮 志未/酬。1995年，美国.;普林斯顿大学的安德鲁·怀尔 _+$斯教授经过8-年的孤军奋战/%，用13 0页=,,(长的篇幅证明了费马大定理。怀尔?-+斯成为整个数])学界的英雄 。 ! ! 费马(_ 大定理提出的问题非常简单， 它!是用一个每个中学生都熟悉的数学定理—(—毕达 $哥拉斯定理——来表达的。2000多]`年.前诞生的毕达哥拉 斯 定理说：在一个直角_ 三+@角形中， ? :斜边的平方等于=两直角边的^/\平方之和(= 。即X2＋Y2=Z2。大约 $[[在公元163;%+7年前后 %_， `当#]费马在 研究,毕达哥拉-(斯@方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达 哥拉斯方 ?]程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这/-!个方程没有任何整 !数解。%费马在《算术》这.,)本书的靠近问题8的页边 处记下这 个结论的同时(`又写下一个附加的评注：.=[)“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，+//写.^不下(。”这就`是数学史上着名的\费马 大定理或称费马最后!! 的定理。费马制@造+ 了 一个数学史上最深奥的谜= 。 _ *大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以. ;叙述: +得如) ! 此简 :单和清晰，却长久 @不 解。E·T·贝尔( E%)ric Temple Bell)在他的.《大问题》(Th;[.e Last Proble--m)一书中写到， 文明`世界也许在费 .[马大定理得以解决之前就?*,已走到了尽头。证#+明费马大定理成为数论中最 值得为之) 奋?斗的事。 安德鲁· )%怀尔斯1953 \.=年出生在$ 英国剑桥:，父亲是一位工程学教授。少年 !时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆 ,中写到_：“在学校里我+ 喜欢做!题目，我把它们带回家， 编写成我自己的,/新题目。不过我以前找到的最好的( 题目.-是在我-# 们社区,..的图书馆里 @发现+^的。 ”\;#一天，小怀尔斯在弥尔顿!街上的图书^`馆看. 见了 \一本书;，这本书只有一个问题而没 有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 ! 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了 :费马大定[ 理的历史，这个定)/ 理让一/个又. 一个的数学* ^家望;]而生畏，在长达3 #% 0:+=0多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 .+ 起被 引向费马`( 大定!理_(时的感觉：“它看上去如此简!)+单，但历史上所有的大 _=数:*=学家都@未[能 `::解 决它#[ 。这里 ,正摆着我——一个 :/10岁的孩子——能理解的/ \问题)，从那个时刻起，我知道我永= 远不)会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的/M+erton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学 %(Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯\`并没有从事费马大定理研究。他说：“研+[究费-@马可能 \ 带来的问题是 _：你花费了多年的时间而最*终一事无[+)成。我的导师约翰·科茨(John Coate \s)正在_研/究椭圆曲`*/线的Iw $asa[-.wa理论，;我开始跟随?他工作。” (-科茨说：“ +我记得一位@::同事 / 告 / -诉我，他 ;有一个非常好的)、刚完成]+数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他) `催促我收其:/ 为学生。我非常荣幸有安 ](德鲁]]这,=[样的学生。即使从对+ )研 %]究生的要 [$_求来看，?他也有很深 %!+;刻的 思想，#@ 非常清楚他将是= 一个做大事情的数学家。当@#然，任^何研究 ;,生在 ],[那 ?$ 个阶段直接开_始研 #=究费马大定理是不可能的，即使对:资历很深的数\!!.学家来说，它也太困难=%:了;。”科茨的责任 是为怀尔斯找到%+某种至少能使他在今后三年里-有兴趣去研究的:.问题。他说：“我认 为研究 生导师能为学生做的一切\-就是设法]# 把他 ;?推向一个富有成果的方向。当然，^ 不能-%保证它一定 !是一个富有成 ]果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的^#一件事是使用 /他 /)_*[的常识、=\?他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就/; 是他自-己的-事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该;-研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭- 圆方程的?研究是他实现梦想的工具。$:$ 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑_桥大学取得博士学 位后来到了美国)]#普林斯%顿大学;% +$，并成为这.#_所大 学 = 的教授。在科茨的指导下，/+怀尔斯或许比世 )界上其他人都 _更懂/; 得椭圆方程^(*，他已经成为一(_ 个着名的数论学家，但他 %清楚地意识到，即使以他广博的%基础知识和数学修养，证明费马 大定 + 理的 $任务也是极为#;艰巨的。 在怀尔斯_的费马%$ 大定)__:理的证%*`=明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间建立$ 了一座新的 #*桥梁。“^那是1986年夏末的一个傍晚[?，我正在一个朋 友家中啜饮@ 冰茶。谈话间他随意告诉我-,，肯·.: 里贝特已经证明了谷/山－志村猜想与费马;=大 定 $理间的联系。我感到极大的震动[-]。我记得那个时刻，那个改变我生命历程#的时刻，因%为 这意味着为= @!了证明:费马大定理，我必:,须做的一切就是证明谷山(－志村猜想……我十 ^分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望( !见了一条实现他童年梦想的道 路。# 20 世纪初，有人问伟大_\的数学家大卫·)希尔@ 伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回/答说：“在开始着!/ ,手之前 -[，我必须*用3年的时间作深入的研究，而我没有那?么多,_]的时间 浪费在@一件可能会^失 [败的事情上# 。);”怀尔斯\+知道 ?_，为了 /找%,到证明，他必须%, /全身心地投入到 这 个问题中@ ，但是与]#希尔伯特不一样，他= 愿 意冒这*个风险。 怀 :?尔斯作了一个重大的决定：要(完全独立和保密地进行研究 +:.。他说：“我意识_到与费 马.大定理有关的#*!任何 事情都会引起太多; =%人([的兴趣。\你:;确实? 不]:可能很多年!都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他 ^_.人分散，(/. (而这一点会因旁观 *#者太多而做不到.。”]?怀尔斯*-放弃#了所; 有 /与证%_明费马大定*_!)理无直接关系的工`?-作，任何时候只要可能,?(他就-[回到家^里工作 ，在家里的顶 楼书房里,?他开始了通过谷山－志村猜想来*证/ .明费!马大定理的战斗。% 这:是一 场长达7年的持久战，这期间只有-,他/的妻子知道他在证^明费马大 定理。. 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷! 山－志村猜想的# *证明。作为一个结果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界/+公布的时候`了。19. 93年6月]^底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀 \ 尔@ 斯决定利用这个机会向 `一群杰出的听众宣布他$的工作。他选择 在!牛顿研究所宣布的另外[一个主 要原因是:.剑桥是他的家乡，他曾经是那里/的一名研究生。 +]; 1993年.;/6 ^月23日，;*牛顿研究所举行了20 世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四* = 分之一的人 =完全懂得 $$*黑板上的希$@$:腊/, 字母和;@?$代数式所表!达 的意思。$@:=其余的人来这里是为了见证他们所_ -期待的_一个真:[(正$:具有 ! ^)意义的时刻。演讲者是安. 德]鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时 -/刻的情景：“虽]`然新闻界已经刮起有关演讲的风 ^声，很/^幸运他们没有来听演讲。但是.;]听众])中有@/人拍摄了演讲结.:$束时的\-\镜头，研究所所长肯 定事先@#就准备了一瓶香槟酒。)`当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重;的寂 静，当我写完 费马大定理的证明 时，$我说： $^‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓 \ 掌声 。” ? ;《`;$+纽约时报》在头版以:`《终于欢呼“ !我发 [:^现了!”%，;久 ^+?远的数学之谜获解# 》为/*题报道 费马大定理被证[明的消息。一 _夜之间，怀尔斯成为世= ^:界上最着名/^\$_的!`]数学家，也是唯一 \的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯:与戴安娜王, 妃一起列为“本\!年度25 \位最具,魅力- 者”)/。最有创 意的赞美来自一家国际制.?$衣大公`司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男\+装的模 特)) 。 当怀尔斯成为媒 体报道的中心时= ，,认真核对这个证明的工作也在进 行。科%学_.-:的程序要 \ %] ?求任何数学家将完整的手稿 )送交一个有声望的刊物，然后 这个刊%\物:[])的编辑$.# 将它 送交一组 审 稿人，审稿人的职责是进行逐行 的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整,*,整一#%个 夏天他 焦急地等+%[待审稿人的$^ !意见，并祈求能得到他们的:)祝福。可!是，证,明)的$一个缺陷被发 现了。 +; 我的心灵归[=?@于平静 由于怀尔斯?的论文涉及到大量的\`数学方法，编辑巴里·梅休尔决定..不 像通]常那样指定 2－3个审稿人，;而是=@ 6个?(审稿人。200页的证明被分成6章，每-位 =^ 审稿人 = /负责 其中一章_@。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审% 稿人在电子邮. 件.中提出的问题，他自信这 [[些问题不*会 . .给他造成很-,大的麻烦。尼克·* 凯兹负责审;查第3;**#章，1993年8月23日，他发现#了 证明中的一个小缺%` 陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法`- 中的每一步都 行得通 /。\^ 怀尔斯以为这又是一个小问题，+-补救/ \的办法可能就在]%近旁.;，可是6个 多月;过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备= 承认失败。他向同事彼得·萨克说明自/*己^(=的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够 和他讨论问题并且可\ @信赖*(的]=人。经过 长 @时@间的考虑后，怀尔; 斯决=定邀请剑桥`]大学的讲师理查@;德·泰勒到普!_林斯顿和他一起工作 。 = 泰勒1]%,994年1]@月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结#+果，他们准[%: 备=放 =:弃$了。泰勒 鼓励他们再坚持 )!一#个月。怀尔斯决定在9月*=底作最后一次检查。9(` 月1 9_日 @(，一个星期一的早 晨，怀\[ 尔斯发现了问题的答案，;=:*他叙述了这.一时刻 ：“突然间!，不]..可思议地\@ ，我 ^有了 一个 难以置!@:信的发现。/[这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有=这样的经历 ?……它^ +的美是如 此地难以形容；它又是如此简@ 单和优%_ 美。2 //0多分钟的时间我呆望它不?] -敢+相信。然后白]天我 到系- 里转/%(了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——@/#它还在那里。@ ” 这是?(少年时 代的梦想 .和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他\?的才能。世 界不再怀疑这一\].次的证明了。这. 两篇论@,[文总共有130页，是历 ) +史/上核查得* 最]].彻底?的数学稿 件，它们发_表 在1995 年5?月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约):时报》的头版 \:$上，%:)=标题是《数学家 称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用! 数学的术语来说，这个最\$ 终的证明可$与分裂原子或发现^DN*A的结构相比，[对费马大定理的(),证明是人类智力活动的一 ;( 曲凯歌，同时，不能^ *忽视的事实是它一下子就使数学发生了 ;-革命性的变化]?%。对我说]\ 来(，安 ![ 德鲁成[*果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一.步。”= 声望和-荣誉纷至沓来。\^,%1995年，怀尔 +_! 斯获得瑞典皇家学会颁发的Sc#hock数学奖，1,?#99 6年 ,，他获! 得 $沃尔夫奖，并当选为美国科学院外+籍院士( 。 怀尔斯说： “……再没有别_的问题能像费马*;大定理一样对我有同样的意义@ `$。我拥有如 此少有\;#的]特权 -，在我的成年时期/实现我童年的梦% 想_ ……那段特.殊漫长的探:[? 索已经结束_了， 我的心已归于]+平$,静。” 费马大定理只有在相对数[\@学理论的@?建)^;-立之后，才会得到最\ !-满意的答案。相对数学理论没 / 有完成之.`_+前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自 $ 身的认识，还没有达到%一 ;-定的高度. @ iii\ ) ::_费马大定理(%!*与 ?怀尔斯的因果律-美国公众@* 广播网 对怀尔 =斯的专访 358年的难解之+%谜 *:数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定_/理——毕达哥拉斯定理来表达。 2000多年前 诞生的毕达哥拉斯$ 定理说：$ .在一个直角三*_!角[@形中，斜边的$% +平方等于两个直角边的平[- 方之和。即X2% +Y2= (Z2。大约在公 元1637年前后$) ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这-^ (`本书靠近问题8的页] 边处写下了这段];=;文字：“设n是大于2的正整数]，则不定方程xn+=]`y=[,n /=z /_n没 -有非整数$[解，对此，我确信^已发现一个美妙的证 =法，但 %(这里的空白太?` ,.小， ?写不下。”` 费马[@习惯.-在页^边写下猜想， 费=]马大定理是:其中困扰数学家们时间最长的， `所以被称\为F ;-ermat’`;s Last Theorem（费马#*_最后的定理）$——公认为有史以来最着名的* 数学猜_/想。 _**在畅销书作家西蒙·辛格（Si %!mon Sing-/:h）的笔下，这^##段神 \ 秘留言引 ()发的长_.达 35:]?8年的猎逐!+(充满了惊险、!: [悬疑、绝望和狂喜。这* :段历史先后涉 及到(最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯?*、由 业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天`才伽罗瓦、理 _论兼试验大师库^-默尔和被誉为“法^]国历史上)=知识 最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼#!`……法国数学天才; 伽(]罗瓦的遗言、日本%@ %数学界的明日之星谷!/$山/*丰的神秘自) 杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫:_斯/)凯尔最后一刻 的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏 剧中的+-一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔 。终于，=普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向+`#高潮并戛然$而止，留下一段 耐人回 @味*的传奇+] ^。 * 对$ 怀尔斯而言],%，证明费马,大定 ^ +理不仅=:/是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10-(岁时在图书馆找到一本 数学书\ ，告:_诉 _+我有*这么`#一个, 问题， 3- 00@^[多年前就 已经有人解决了它，,,但却没 有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证, 明，从那@+以后，人们就不断地求证 \。这是一个10岁小孩就能# ^明!+白的问题，然后. @历史上诸/ `多伟大的数学家们却不能解?= 答。于$?是从那时起，我就,]试过解%`%/决它，_)这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大[学和剑_+桥! $大学./获得数$_-学学 =士和数学博士 )@!学位。“我进入=剑桥时，我真正把费马大定理/\ 搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识 到我们所 -掌握的用来攻克它的=$$:全部技术已经%]?反;%+\ 复使用了130年。而这:?^.些技术似乎没 =有@ #触及\!+]问题( (根本。”因 为担心耗费太 ]多时/-?间而一无所;[+/获，他“(^暂时放下#\[了”对\,_]费马)+=大定理的.思[;索，开始研究椭圆曲线理 论——这个看似与? 证明费马大定]理)不相关的理论后来却成/:\:为 他实现梦想的/工具_。:% 时间回溯至20世纪6]*0年 代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜-!想：:所有主要_[ 数 - 学领] 域之间原本就存在;*_)着的@_统一的链接。#)*=如果这#个猜想被证 (实，= 意味着在某[个数学领域中无 ]:法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的@问题 ——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个`==领域内仍然难 %^以找到答[案，(\那么?可以把问题 ]@再转换# 到下一;\个数学领 , 域中……直到它:被解决为止。根据朗兰兹纲领，有`一_)/天，数 ?学家们将能够解决曾经是最深奥最难^$]_对付的+ *问题; +,——“办法是领着这些问题 周游数学王国的各.;个风景胜-)地”。这\/个纲领^,为饱受哥德尔不 -完备定理 *打击的费马大定理证明者; \,们指明了救赎之路—$ @,—根据不完备定理，费马大定理 是不可证明的:\。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得%以证明费 %马大定理的：他的证明——不同; 于任)/何前人的尝试——是现代数学 +诸多分支（椭圆曲线论;:]，模形式理论 ，伽罗华表示-:\理论等等\))% 综; 合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志?*村五郎__ ）提出的谷山—志村猜想（T= !a #ni=?#yama-Shimura conj -ecture:`?）暗示：椭圆方程与 $模形式两个截\然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。@,?随后在:^1984年，德国数学家;* 格哈德·费赖(（G._erhard Fre : y）给 出了如@#下猜想：假如谷山—志村_),猜想成立，则费马大定@[_ 理为真。这个 ^猜想紧接着在1986年被肯·里贝/ 特（Ken ??Ri;bet）证明。从此\ ，费马 大定 @理不 可摆脱地 , [与谷山—志村猜^$ 想链接在一起：如果有人能证明谷山# -—志村猜想（即“每)/!:一个椭圆,方 程都@_,可以模形式化”）`=，那么就 ;?证明了费马大定理。!/ “人类智/_力]活动的一曲凯歌” :] 怀? [尔斯诡秘的行%/ 踪让普林斯顿的着名数!学家同,/# 事们困惑。彼得·萨奈克 （P:]et # er Sar]/ nak）回忆 .说：] [“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄(悄的，也,#\\许他^ 已,() 经(‘黔驴技穷’了。”尼克 · 凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于[这次惊天“ .大预谋”，肯·里比特（Ken R . ibet)曾评价^ #说： _+.“这可能是我平生来(?:见过的唯一例子，在如此=%#长的时间!?@ 里没]有泄露任何有 ;关工作的信息。这是空前的@。 1993年晚^春，在经过反复 @./的试错和绞 尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷[[``山—志村猜_想( 的证明。作为一个结果，]=他也证明了费马大定]\理。彼得·萨奈克是最早得知-+此消息的人之一，“我目瞪,@$口呆、异常激动、情绪失常_/]… =!…我记(+_\得当晚我失眠了”。 同年6[)]月，怀尔 ^斯决定在剑桥大学的大型系列 讲座上宣布这\=一证[明。*( “讲座气!`氛很热烈，? 有很多数学界重.*要人物到场，当大家终 _\于 ?=明白/_已经离证,-明`费马大定 %^理一步+!$.之遥时，空气_ /中充满 +了紧!$张。”!/ 肯·里比特回#@$ 忆说。巴 %里·马_, 佐尔（B\ %.arr:?y Maz\, -*ur）永远也忘不了那 ,一]`刻= ：“我之前从未看到过如*此精彩的讲) 座，充满了美妙的、@;闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，_:#直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座:结]/ 尾宣布他证明了费马大定理时，他成 了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头 \版以《终于欢呼“ `,我发现了!”久远-的数学之谜获解》_（*.“A) t Last Shout of*: ‘Eureka!$’ in Age-Ol) , d +?Math M` ystery”）为题*#报道费马大定理?被证]明@ 的消息。# 一夜之间，怀尔斯成为 世界上唯一* ?的数学家 ?。《人 @物》杂=志将怀尔斯与戴安娜王妃一起*!列为“本年 =度2 -5位最具-魅力者”。 与此同=时， _@认! _真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的@/“$费%马=)大定理终结者”一样，(: ,;他的证明是有-=缺=陷( 的`。,[怀尔斯现在不得不:,]:在巨大的压力之[下修正:. 错误:.，其=.间数度:/感到绝 :望。\=+John Conway曾\在美国公众广播网（PBS）的@)#访谈中说:;+$ “当=`(时我们 ) 其他人（怀 #+尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体_+=研@)?究者’，都?+@想知道他的想法和修正错误;=*的进展，但没/有人开口问/[他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微].笑，但*看起来! 并不]高兴。’” ; 撑到1994 年9月时，怀.尔斯准备放弃了。但他( %;临时邀请的研究搭-!档泰勒^鼓励? 他再坚持. 一个月。就在截`止日到来之前两周， 9月19 日 ，一个星期一的 -#早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他 叙述了] ;这一时刻：“突(;然间，不可思议地，我发 现了它……(__它美得难以形容，简单而优雅。我对着它- 发了20多分钟呆。然后_. 我到系里转了一!!圈，+]%又回到 @(;桌子旁看看它是否还在那( 里——它确实还在那里。” ?+[*怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬`#，其中最具代表性的是他在剑桥时的 ,导师、 # 着名数学家`;约翰·科茨的评价：“它（证:,明）是人类智力.%活动的 (一)*曲凯歌”。 一场旷-:]日持 (久的猎逐就此结束，从此费马大 定理与安德鲁 ;*·怀/ 尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提-到一个就不;得不提到另外一个。这是费@@,马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年 !的最终证明 在怀( _ 尔斯不#;多的接受媒体采访中 ! `，美国公*[众广播网（P!(B S）N,?;@OV @A节目*#对*[怀尔斯的专访相当精彩有.=趣 ，本文 节选部分以飨读者。,.% 七年孤独 [N!-OV@ A：通常人;[=们通过团队来获得工作上的支持， 那么当你碰壁 时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步]+的好处是使你会处于放松状态，同时,]你的潜意识却在继续工作。通常遇^,到困扰时你并_不需要书桌，而且* @(我随时把 ]笔纸带上，一旦有好% $主意我会找个长椅坐下来打]`草稿…… NOVA% ：!@ 这七年一定交织着 自我怀疑与成功……你不可?能绝对有把握证明%%*。 ,怀_%尔斯：我确实相信自己在正 @+确的轨道=$上，但/ 那并不-(意% 味着 ?`:我一定能达到+`目标——^-+也许仅 仅因为解决+ 难题的方法超出现有的数[ 学，也许我\.需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我`-=在正确\的轨道上，.:我却可 `:能生活在错误的世纪。 N^,OVA：最终在1 # 99]3年，你取得@ ,了 突破。 怀尔斯：对，那是#%个5月末的早+*上。 N)\ a da，我? :_的太太，和^@孩子们出去了。我坐在书桌前思 考最后的步=骤， 不经] \$意间看到了一篇论文，上面的一行字引 $起了我的(注意。它提到了一个_+19世 @纪= *的数学结构， 我霎时意识到这__:就是_]*我该用的。我不停地工作，忘\记下楼午饭，到下午 三四=%点时我确[信已经证明了费马-大 [*^定理，然后下楼。Na ;^da很:吃惊，以为我这时 ?才回家，我告诉她，我解决了费马大定- 理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于*,_^欢呼“我*发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。 $#怀尔斯：那是个存在于关键推导中的( 错误，但它 +(如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算.是 数学家也需要研习两三个月:: 才%能弄. @懂。 N*!_O:`V+ A：$后来你!邀请剑 桥的数学家理查德· 泰勒来,协助工作，并?)在19# @94年-*修:_):正了这个最后的错误。\/问,?题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯： )不]$可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的%;#方法，在费马时代还不存在。 !NOV%][A：那就(是说费马的* 最初证明还+@/,在某个未被@ 发现的角落？ 怀= *尔斯：我不相信他有 证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可 能被1(=,]7世纪的=数学证* 明 ，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还 有数学家追 (+ /寻这最初的[ 证明。你该怎么办呢 *？ 怀尔斯：,_.对我来说都一样，费马是我童年的热^[)望。我会再试其他问题……证明 了它我有一丝伤感，它已经和我们/$一起*,这[* 么久了…#…人们对我说“你`],把我的问题-夺走了”, *，^%我能带给他们其他的东 ^=西*)吗？我感觉到有责-:%任[@[。我希望通过 #解决这个问` 题/==带; ?来的兴奋可以激励青年数学家:(们解决]-其 +!他许许多多的_:难题。 i v 谷山-志村定理(Taniyama .-Shimura th#,)eorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(?` 某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的(重要联系。虽然名字 ,是从谷山-志村猜-=想而@+@来,^+ 定理的证明是由安德 鲁·怀尔斯, Christophe Br`+euil, Br%!ian C ?on] =rad, Fred Diamond,和Richa@`;^rd Ta.)y %lor完成. 若p是一个质数而^%\`,E是一个Q$(有^理数域)上的 =]一个椭圆曲线，我们 ` 可以简化定义E$/的方程模+*:p除了有限个p值#， ^我们会得到^ 有np个;$,元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线 (。然后考虑如( 下序列 ap = np − p, 这: 是椭圆曲线E 的重要的不变量;*。从%/ 傅里叶变换，每个模形式\也会产生-+ 一个数 `-列。一^?个其序$)列#\ ]和 从模形式得到的序/-@列 :+相同的椭圆曲线叫] 做模的。 谷山-志村定说:+= &q,uot所有#Q上的椭圆[曲线是#: 模的? &(*quot。:@ 该定理在195* 5年9];月!? 由谷山丰提出!猜#想。到1957年为 !?止，*:` 他=**?和志村五!=* 郎 一起改进了严格%`性。谷$山于1958年自)_ 杀身亡 。在1 960年代，它和统一# ;#数学中!*:的猜想Langlands?:纲领联系%了起来，并是关键的(组成部分。猜想由A* ^;ndré Wei? l于 ^1970年 $,[代重新提起$ 并得到推 广，Wei l的.`*名字有一段时间和它联系在一\*_起。尽.管有明显的用处，这个 @ 问题的深度在后来的发展之前并未被人=们所感觉到;。 / 在198!]0年代当Ge r$%-hard Fre?%;ay建议+谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少= 注意力。他通_(过[ ;试图表明费/!-!尔马;大.定理的任^ \何范例会( = 导致`]一个非模的椭@ /圆曲:线来 _做到这一点。/]. Ken R: _ibet后来证_,,明,了% 这一结果。在1995年，Andrew Wiles和R # ,ic%@( hard (+Tay !lor证明了=/]谷山-志村定理的: 一个特殊情况(半稳定\_ _ 椭圆曲线的情况)+#，这个特殊情况足以; . 证明费尔马%大,.定理\ )。 完整的证明最后于#-1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他 )/=们在W.]:il=.es ? +;的基础上，一:]块一]块的逐步证明剩下(@的情况-直到全部完成 。 数$论中 _类似于费尔 马最后定理得几%^]个定理可以从谷山-志$[ 村定理得到。例如:没有立方可.$#以);写成两个互质n次幂的和?`, n ≥ 3. ;(n = 3的情况已为_]欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和R _ober -t L@@ a=ngland@^s分享了沃尔夫奖。虽然他们都没 有完成给予他们这- 个成就的定理的完整形式，他们还%是被认-[为对最终完成的证明有着决定性影响。